Kapitel 3 Funktioner og ligninger
3.2 Generel Forskift liniær funktion
En funktion er et redskab, der beskriver sammenhængen mellem en uafhængig variabel x og en afhængig variabel y = f(x). Formen for en lineær funktionsforskrift skrives som:
f(x)=ax+bf(x)=ax+b
hvor a, b ∈R
Vi kalder a for hældningskoefficienten, dette tal fortæller hvor meget y ændrer sig når x vokser med 1. Det vil sige hvor meget ændres funktionsværdien, når vi går en til højre på x-aksen. b er skæringen med y-aksen. Punktet hvor linjen skærer y-aksen har altid første-koordinat 0, dvs. punktet hedder (0,b).
På figuren ovenfor er f(x)=0,5x+2 tegnet ind. Her ses som nævnt, at linjen skærer y-aksen i (0,2), og hældningskoefficienten er 0,5.
Når man indsætter en x-værdi i funktionsforskriften får man funktionsværdien eller y-værdien. F.eks. vil x=2 give en y-værdi f(2)=0,5⋅2+2=3, det betyder punktet (2, 3) ligger på den rette linje.
En lineær funktion med positiv hældning (her a=0,5) er en monotont voksende funktion, en sådan funktion ligner en bakke der går opad. Jo større a er des stejlere er bakken. En lineær funktion med negativ hældning, er en funktion der er monotont aftagende, det er en funktion der går nedad.
3.3 Bestemmelse af forskrift baseret på 2 punkter
Hvis vi kender 2 punkter (x1,y1) og (x2,y2) på en ligning kan vi bestemme funktionsforskriften, f(x)=ax+b
a=y1−y2x1−x2
b=y1−ax1
Hvorfor? Fordi vi kan skrive opskrive 2 ligninger med 2 ubekendte (a og b), når vi kender den generelle funktionsforskrift og de to punkter:
y1=ax1+b
y2=ax2+b
Se i senere afsnit hvordan man kan løse 2 ligninger med 2 ubekendte, her er de ubekendte jo a og b alle andre størrelser i ligningerne er kendte. Man kan så trække den ene ligning fra den anden, så forsvinder b, og man har en ligning med en ubekendt tilbage.
Hvis vi kender 2 punkter (2,3) og (4,1) på en lineær funktion og ønsker at bestemme forskriften, kan vi altså først finde a:
a=y1−y2x1−x2=4−21−3=−22=−1
Bemærk det er ligegyldigt hvilket punkt man vælger som (x1,y1) og (x2,y2), men rækkefølgen i brøken, når man har valgt, er vigtig.
Man bestemmer nemt b, da det nu er den eneste ukendte i de 2 ligninger, behøver vi blot indsætte de øvrige kendte værdier i den ene ligning.
b=y1−ax1=3−(−1)⋅2=5
Så forskriften bliver altså
y=−x+5
Man kan også benytte www.wolframalpha.com her. til at bestemme linjen gennem 2 punkter. Skriv i feltet: line (2,3) and (4,1)
Det giver ligeledes forskriften for linjen. Man kan ligeledes benytte Wolfram til løsning af uligheder.