Kapitel 3 Funktioner og ligninger
3.2 Generel Forskift liniær funktion
En funktion er et redskab, der beskriver sammenhængen mellem en uafhængig variabel x og en afhængig variabel y = f(x). Formen for en lineær funktionsforskrift skrives som:
\[f\left( x \right) = ax + b\]
\[hvor\ a,\ b\ \in \mathbb{R}\]
Vi kalder a for hældningskoefficienten, dette tal fortæller hvor meget y ændrer sig når x vokser med 1. Det vil sige hvor meget ændres funktionsværdien, når vi går en til højre på x-aksen. b er skæringen med y-aksen. Punktet hvor linjen skærer y-aksen har altid første-koordinat 0, dvs. punktet hedder (0,b).
På figuren ovenfor er \(f\left( x \right) = 0,5x + 2\) tegnet ind. Her ses som nævnt, at linjen skærer y-aksen i (0,2), og hældningskoefficienten er 0,5.
Når man indsætter en x-værdi i funktionsforskriften får man funktionsværdien eller y-værdien. F.eks. vil x=2 give en y-værdi \(f\left( 2 \right) = 0,5 \cdot 2 + 2 = 3\), det betyder punktet \(\left( 2,\ 3 \right)\) ligger på den rette linje.
En lineær funktion med positiv hældning \(\left( her\ a = 0,5 \right)\) er en monotont voksende funktion, en sådan funktion ligner en bakke der går opad. Jo større a er des stejlere er bakken. En lineær funktion med negativ hældning, er en funktion der er monotont aftagende, det er en funktion der går nedad.
3.3 Bestemmelse af forskrift baseret på 2 punkter
Hvis vi kender 2 punkter \(\left( x_{1},y_{1} \right)\ og\ (x_{2},y_{2})\) på en ligning kan vi bestemme funktionsforskriften, \(f(x) = ax + b\)
\[a = \frac{y_{1} - y_{2}}{x_{1} - x_{2}}\]
\[b = y_{1} - ax_{1}\]
Hvorfor? Fordi vi kan skrive opskrive 2 ligninger med 2 ubekendte (a og b), når vi kender den generelle funktionsforskrift og de to punkter:
\[y_{1} = ax_{1} + b\]
\[{y_{2} = ax_{2} + b}\]
Se i senere afsnit hvordan man kan løse 2 ligninger med 2 ubekendte, her er de ubekendte jo a og b alle andre størrelser i ligningerne er kendte. Man kan så trække den ene ligning fra den anden, så forsvinder b, og man har en ligning med en ubekendt tilbage.
Hvis vi kender 2 punkter (2,3) og (4,1) på en lineær funktion og ønsker at bestemme forskriften, kan vi altså først finde a:
\[a = \frac{y_{1} - y_{2}}{x_{1} - x_{2}} = \frac{4 - 2}{1 - 3} = - \frac{2}{2} = - 1\]
Bemærk det er ligegyldigt hvilket punkt man vælger som \((x_{1},y_{1})\) og \((x_{2},y_{2})\), men rækkefølgen i brøken, når man har valgt, er vigtig.
Man bestemmer nemt b, da det nu er den eneste ukendte i de 2 ligninger, behøver vi blot indsætte de øvrige kendte værdier i den ene ligning.
\[b = y_{1} - ax_{1} = 3 - \left( - 1 \right) \cdot 2 = 5\]
Så forskriften bliver altså
\[y = - x + 5\]
Man kan også benytte www.wolframalpha.com her. til at bestemme linjen gennem 2 punkter. Skriv i feltet: line (2,3) and (4,1)
Det giver ligeledes forskriften for linjen. Man kan ligeledes benytte Wolfram til løsning af uligheder.